地址: 江苏无锡新区长江南路29号
电话: 0510-85224498
0510-85347887
传真: 0510-85222636
手机: 13382239926
邮编: 214028
Email: ivoyage@vip.163.com
   
首页 > 相关资料相关资料
基于符号计算研究一类6-SPS并联机器人运动学正解问题
〖 2012.09.04 | 点击 714 〗
王奇志 徐心和
1 引言
  并联机器人运动学正解问题的研究,无论对于控制,运动分析及机构设计都具有实际意义.但是由于并联机器人运动学正解本身的复杂性,尽管许多人致力于这方面的研究\[2~7\],但它仍然是一个难以解决的问题.传统的方法是采用数值迭代方法.众所周知,数值方法依赖于初值的选取,而且收敛性问题没有解决,即使收敛也未必收敛于所期望的点,通常很难得到其全部解.解析方法克服了数值方法的缺陷.但是由于计算量大,而且计算复杂,以前很难真正实施.符号计算的出现为解析方法的实施提供了强有力的计算机工具,它既能解决数值问题又能进行公式推导和符号运算.一般说来,并联机器人运动学正解可转化为多变元多项式方程组的求解问题.目前解决这一问题有Groebner Basis方法,Wu方法和Dialytic消元法.本文应用Dialytic消元法求解一类6-SPS并联机器人,给出其解的解析形式,以此为依据可求出满足实际条件的全部实解.文中的符号处理过程是在符号计算软件系统Mathematica中进行的.

2 模型的建立
  文中的模型是6-SPS的并联机器人,由基平台、动平台和6个杆组成.每个杆的两端是两个球铰,中间是一个移动副,通过移动可调节杆长.刀具位于动平台的中心处,此种结构的并联机器人具有6个自由度,可完成各种曲面的加工.动平台是对称六边形,各内角均为120°,如图1所示.以对称六边形中心为圆心,以与底边A1A2相平行的直线为轴建立基平台空间坐标系.动平台是与基平台类似的六边形,静止状态正好是基平台的倒置位置.同理建立动平台的坐标系,如图2所示.各自的坐标为Bi(bi1,bi2,0)和Ai(ai1,ai2,0).动平台相对于基平台的坐标变换的矩阵
  (1)动平台的中心点O1相对基平台的坐标系为O1=[x,y,z]T,从而动平台上的点相对于基平台的点为PBi+O1-Ai(i=1,2,…,6),根据6个杆长得到6个方程‖PBi+O1-Ai‖2 =li2 (i=1,2,…,6),另外由坐标变换矩阵为正交矩阵得3个约束方程,,这是9个变元V[x,y,z,u1,u2,u3,v1,v2,v3]9个方程的方程组.从而正解问题也就是9个变元9个多项式方程组的求解问题.

3 6-SPS并联机器人运动学正解系统模型为
   (2)令坐标变换为u=u1x+u2y+u3z, v=v1x+v2y+v3z, w=x2+y2+z2上述方程组变为关于变元x,y,w,u1,u2,u,v1,v2,v的方程组,并且通过计算u1,v2, v 可以表示成y,w的函数,u,u2,v1可以表示成x的函数,即
  (4)将u1,v2,v,u,u2,v1代入方程组f2i中,此时f2i中只含有变元x,y,w.将x,y作为隐函数,利用Dialytic消元法[1]CW=0,其中W=[w3,w2,w,1]T,w=C1-1D,C1是C中去掉最后一行一列元素所组成的矩阵,D是C中去掉最后一行时的最后一列元素组成的列向量.利用相同的方法可以将y表示为x的函数.EY=0,Y=[y8,y7,y6,y5,y4,y3,y2,y,1]T,.最后得到关于x 的函数f30(x)=0.

4 数值实例
  假设R=12,r=6, l1=20.8116, l2=18.7664, l3=14.1697l, l4=16.035, l5=18.3114, l6=18.3932. B1(-rsin15,-rcos15,0), B2(rsin15,-cos15,0), B3(rcos15,rsin15,0), B4(rcos45,rsin45,0), B5(-rcos45,rsin45,0), B6(-rcos15,rsin15,0), A1(-Rsin45,-Rcos45,0), A2(Rsin45,-Rcos45,0), A3(Rcos15,-Rsin15,0), A4(Rsin15,Rcos15,0), A5(-Rsin15,Rcos15,0), A6(-Rcos15,-Rsin15,0),通过计算得多项式方程f(x)=0,解方程求出x.

表1 f(x)=0在x取值范围的实解

x

y

z

u1

u2

u3

v1

v2

v3

8.00012
 

4.00013
 

6.00031
 

0.400056

0.600014

0.692709

0.500006

-0.776347

0.383678

8.27645
 

-0.104244

10.8199
 

0.603853

0.623854

0.496958

0.523846

0.135644

-0.862614

9.90619
 

2.76188
 

9.3733
 

0.915585

0.764456

0.25476
 

0.664449

-0.047168

-0.611481

-2.19645

-2.77731

14.7736
 

0.735814

-0.279675

-0.663117

-0.379682

0.728833

-0.620556

-1.22044

2.33518
 

8.43431
 

-0.0477093

-0.195471

-0.982391

-0.295479

-0.93683

0.20084

0.482578

-2.45735

15.6475
 

0.926361

-0.0485469

-0.373499

-0.148555

-0.864171

-0.480772

1.54801
 

1.43219
 

11.3853
 

0.323379

0.0433711

-0.325844

-0.0566366

-0.409936

-0.111046

7.26676
 

5.39563
 

8.59673
 

0.839726
 

0.536745
 

0.436737
 

-0.577468

-0.0823338

0.689798
 


5 分析
  上述求解过程中x由方程f30(x)=0解出, 给定x值, , ,由矩阵计算可知y, w解唯一, 由于动平台在基平台之上, 从而有z>0, ,这里只取正号,u1=f11(y,w),v2=f12(y,w),v=f13(y,w),u=f14(x),u2=f15(x),v1=f16(x),u3=u-u1x-u2y/z,v3=v-v1x-v2y/z.上述函数u1,v2,v 是关于y, w的线性函数, u,u2,v1是关于x的线性函数,以上函数均为显式表达, 从而可知,给定x值,正解被唯一确定.如果矩阵E1, C1的条件数差,出现奇异情况.
  不妨假设并联机器人的基本杆长l=12,伸最长时为基本杆长1.8倍,当六个杆缩到最短时达到最小点zmin;当6个杆拉到最长达到最大点zmax.由图2所示,处于静止状态时,杆l1在O-X0Y0Z0上的投影 
实际问题中,我们考虑其实解,而且z>0, w=x2+y2+z2>0,x∈[-7.33163,7.33163],由此可见满足条件的只有4组.

6 结论
  符号计算使得计算机的功能有了质的飞跃,原来只能进行数值计算现在可以进行公式推导,符号处理.而且实际应用中特别是往往希望得到问题的解析模型,但局限于数学方法及计算机工具发展的程度.并联机器人正解问题就属于这类问题.本文利用符号计算软件工具及Dialytic消元法解决了一类并联机器人运动学正解问题.给出解的解析解,对解的结构进行分析.克服了数值方法的缺点,而且它不仅是理论上的结论,它可以在微机586上实现.仿真结果表明所给方法的有效性.但如果......不存在时,采用线性解时,计算结果出现误差.
  中国科学院机器人开放研究实验室基金资助。

作者简介 王奇志: 女,31岁,博士生.研究领域:计算机代数、机器人运动学.
      徐心和: 男,58岁,教授.研究领域:离散事件系统、混杂系统计算机控制与仿真、计算机代数等.
作者单位:东北大学信息科学与工程学院 沈阳 110006; 中国科学院机器人学开放研究实验室

参考文献
  1 Bernard Roth. Computations in Kinematics. Angeles J et al. (eds). Computational Kinematics, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands, 1993: 3~14
  2 Wu Wenda, Huang Yuzhen. The Direct Kinematic Solution of the Planar Stewart Platform with Coplanar Ground Points. Mathematics-mechanization Research Preprints, 1994,12: 61~70
  3 Griffis M, Duffy J. A Forward Displacement Analysis of a Class of Stewart Platforms. Journal of Robotic Systems, 1989: 703~720
  4 Merlet J P. Direct Kinematics and Assembly Modes of Parallel Manipulators. The International Journal of Robotics Research, 1992,11(2): 150~162
  5 黄真编著. 空间机构学.机械工业出版社,1989
  6 Sreenivasan S V, Waldron K J. Closed-form Direct Displacement Analysis of a 6-6 Stewart Platform. Mechanism Machine Theory, 1994,29(6): 855~864
  7 Fuan Wen and Chonggao Liang. Displacement Analysis of the 6-6 Stewart Platform Mechanisms. Mechanism Machine Theory, 1994,29(4): 547~557
 
 
 
【返回】 【打印】
技术支持:启航信息 无锡智航控制技术有限公司 © 2012 版权所有 电话:0510-85224498  传真:0510-85222636  手机:13382239926  苏ICP备14043095号