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Stewart并联机器人局部灵活度与各向同性条件解析
〖 2012.09.04 | 点击 1270 〗
黄田 汪劲松 Whitehouse D J
 
摘自:机械工程学报

前言
  灵活度(Dexterity)[16]是评价机器人操作机运动学性能的重要指标,也是尺度参数设计的重要依据。近年来,有关Stewart并联机器人操作机(SPM)位置正解、工作空间和奇异位形的研究已取得颇多成果,但涉及尺度综合的研究还很不深入。Gosselin,Angeles[2,3]和Kumar[4]分别以平面3自由度并联机械手为例,研究了兼顾工作空间面积和可控灵活度的结构参数设计问题。Pittens[6]用数值解法寻求出一族满足特定约束的局部最优灵活度构型。Zanganeh[10]在研究SPM各向同性(Isotropy)条件时得到了类似的结论。Stoughton[8]在Gosselin所提出目标函数的基础上,以雅可比条件数和工作空间某一给定区域的一次矩最小为目标,以无量纲实际工作空间体积为罚因子,将尺度综合归结为一类多目标泛函极值问题。Bhattacharya[1]利用6维广义刚度模型,将同一问题归结为以静刚度矩阵行列式全域均值与最小奇异值的加权和最大为目标的多目标有约束非线性规划问题。
  研究构造SPM局部灵活度解析模型的方法,揭示各类灵活度指标的一致性及实现最优局部灵活度构型的结构参数关系。提出一种在满足局部灵活度约束条件下,兼顾末端执行器实现姿态的能力的尺度综合方法。最后,通过算例论证当末端执行器可达位姿有限时,标准SPM的局部灵活度性能满意解即为全域满意解。

1 雅可比矩阵
  如图1所示,SPM由静、动平台(末端执行器)和6条可伸缩支链组成,各支链一端用虎克铰(或球铰)与静平台联接,另端用球铰与动平台联接。支链的伸缩通过有源可控螺旋副,摩擦副或气、液缸驱动,进而实现动平台的6维空间运动。考虑到工作空间的对称性,设动、静平台在几何上由奇偶铰点构成的两共面等边三角形组成(图1)。各铰的联接顺序为Bi-Ai(i=1,2,…,6)。
 
图1 SPM传动原理简图与结构参数
  由图1可见,动平台参考点O′在系O-xyz下的位置矢量r可表示为 r=qiwi+bi-ai
  (1)式中 qi,wi,bi,ai——支链i的关节变量、单位矢量、由点O至点Bi及由点O′至点Ai的矢量设R为系O′-x′y′z′关于系O-xyz的姿态矩阵,则有ai=Ra0i式中 a0i——ai在系O′-x′y′z′下的度量由铰Ai的速度协调条件有
 
  (2)式中 支链i的关节速度,支链角速度,点O′的速度及末端执行器的角速度对式(2)点积wi,并写成矩阵形式得式中 维关节速度矢量维操作速度矢量
 ——雅可比矩阵
 
2 灵活度指标
  考察式(3)可知,雅可比矩阵表示由操作速度到关节速度的线性映射,映射后矢量长度的极值可以从度量特征上表征SPM的运动学性能。这些极值被定义为雅可比的奇异值[1,11],即
 
  (4)若SPM处于某一位形时至少有一个奇异值为零,则说明为了产生相应特征方向的操作速度所需的关节速度为零。换言之,有限的关节速度将导致操作速度趋于无穷。为此,通常称对应至少有一奇异值为零的位形为奇异位形,其在数学上表现为雅可比矩阵的行列式为零,而物理意义则可解释为末端执行器将添加至少1个不可控自由度。利用雅可比矩阵的奇异值可构造如下3种灵活度评价指标。
  (1)条件数[2]:w1=σmax/σmin;为了趋于各向同性,应使w1→min。
  (2)最小奇值[7]:w2=σmin;为了控制操作速度上界,应使w2→max。
  (3)可操作性[9]:若奇异值上界有限,则为了避免奇异位形,应使w3→max。
  Ma和Angeles[5]将雅可比的奇异性分为两类,即构型奇异和位形奇异,并指出构型奇异在可达位姿空间中均可能存在,故在设计阶段应严格加以避免。后续研究表明,因关节变量和从动铰许用锥角有限使得构型奇异起主导作用,且因Stewart平台仅存在第2类奇异位形,故局部灵活度最优构型即为全域灵活度最优构型。

3 局部灵活度与各向同性条件解析
3.1 初始位形
  当仅受约束qmin≤qi≤qmax(qmin,qmax表示关节变量上、下限,且设6条支链相同)时,若令动、静平台保持平行且无绕z轴转动,则点O′的位置空间是以bi-a0i(i=1,2,…,6)矢端为球心,以qmin和qmax为半径两球面片间所辖区域的交集[12~14]。又因点O′位置空间的最小截面一定在由z轴与bi-a0i张成的平面内,故一定存在一半径为r=(qmax-qmin)/2,球心位于z轴上的球与该空间边界内切,且定义点O′与球心重合时的位形为初始位形。
  按上述定义,铰Ai和Bi在系O′-x′y′z′和系O-xyz下的位矢可表示为
 
  (5)式中
   β1i,β2i,α0,α1,α2——bi和a0i的位置角、初始角与分离角
   rd,rs,qav——动、静平台半径和平均杆长
   φ——在初始位形下支链轴线与矢量bi-a0i的夹角μ,α——静、动平台半径比和结构扭角

3.2 局部灵活度解析
   利用式(5)可导出在初始位形下按动平台半径归一后的雅可比矩阵
 
  (6)式中根据矩阵奇异值理论[11]构造特征方程
 
  (7)式中易证式中 E2,E6——2阶和6阶单位阵于是有据此,利用行初等变换可得到雅可比矩阵奇异值的解析解答322×65
                       
3.3 各向同性条件
  利用奇异值解析解答可构造可操作性w3指标
 
  (8)考察上式可见,因参数φ与μ和α解偶,故使得w3取得极大值的必要条件为φπ/4。据此,灵活度指标w1,w2和w3的解析解答可表示为
  (9)图2~4示出了当取φ=π/4时,w1、w2和w3随α和μ的变化规律。考察式(9)和图2~4可见,使w1取得极小值,且同时使w2和w3取得全域极大值的参数关系——各向同性条件为这说明性能指标w1、w2和w3取得极值的条件完全相同,且由此导出的局部最优灵活度为  
  (11)这是本文得到的重要结论。

4 结构参数的设计准则
  考察式(10)可知,存在无穷多个α和μ的组合使得局部灵活度最优,且即便对于同一组合也存在无穷多个α1和α2的组合使得α=(α2-α1)/2。因此,局部最优灵活度构型存在无穷多组解答。然而,虽然灵活度指标极为重要,但具体设计还应考虑其他多种因素,如工作空间与操作机体积比,动平台实现姿态能力,结构可实现性以及支链干涉等。这些指标往往相互制约,因而必须加以权衡。在此,提出一种兼顾动平台实现姿态能力的结构参数解析综合方法。
  根据SPM工作空间的几何形状特征[12~14],首先给定球状主工作空间半径r,又根据结构可实现性,给定并节变量下限qmin,并使关节变量的变化范围等于r的2倍,即qav=qmin+r。前期研究结果[12~14]表明,在主工作空间等同条件下,随着μ和α的增加,动平台实现姿态能力增强。而由各向同性条件式(10)可知,当μ≥2时,有α≥π/3,故当构成动、静平台的两组三角形两两共面,且外接圆半径分别相等时,继续增加μ必将导致支链交叉干涉。因此,当强调动平台实现姿态能力时,无法严格遵循式(10)确定结构参数。为了协调这一矛盾,定义如下相对局部灵活度约束
  (12)式中 ε1max,ε2min,ε3min——相对灵活度裕度用ω2局部灵活度解析式构造
  (13)给定可实现的动、静平台结构扭角α和相对灵活度裕度ε2min,且使得则可由式(13)确定静、动平台半径比
 
  (14)继而由下式确定动、静平台半径
 
  (15)以上关系即为满足给定相对灵活度约束的次最优构型解析解答。计算机仿真结果表明,给定μ后,随着α的增加,灵活度性能得到改善。这一性质说明,在结构允许条件下应尽量增加结构扭角α,以期在通过增加μ来改善动平台实现姿态能力时,确保灵活度性能不致显著下降。

5 算例
  为了考核局部灵活度最优和次最优构型的全域灵活度性能和实现姿态能力,设定主工作空间无量纲半径r=1,关节变量下限qmin=5,静、动平台两组正三角形的分离角为α1=0和α2=π/3,进而有α=π/3。平移固定参考系,使得x-y平面与主工作空间形心所在水平面重合。在次最优灵活度构型中取相对条件数ε1=1.25使得α=π/3时有μ=6。图5示出了关于z=0平面的姿态空间以及在该平面内相对灵活度ε1的变化规律。表示出了经综合得到的两种构型尺度参数和相应的运动学性能指标。在此值得指出,第1例未考虑支链干涉问题。
  图5 关于z=0平面姿态空间和相对灵活度空间
  表 两种构型的结构参数与相对条件数(θ=0°)

参数及性能

半径比μ

分离角α1/(°)

分离角 α2/(°)

动平台半径 rd

静平台半径 rs

最小条件数 min(ε1)

最大条件数 min(ε1)

姿态能力
max(θ)/(°)

最优灵活度构型

2

0

60

2.450

4.900

1.000

1.160

30.04

次最优灵活度构型

6

0

60

0.762

4.572

1.250

1.456

38.08

 
   由图5可见,虽然两种构型的主工作空间大小完全相同,但最小可达章动角[12~14]θ>0°后,次最优构型关于等同θ的位置空间远大于最优构型的位置空间。事实上,若按局部次最优灵活度构型设计,则当θ<32°时动平台实现姿态的能力主要受到关节变量上、下限的制约,而θ>32°后则受到动平台球铰许用锥角约束δa=40°的制约。而按局部最优灵活度构型设计,则实现姿态能力完全受关节变量上下的制约,且随θ增加急剧减弱。又由图5可见,θ=0°时最优灵活度构型较次最优构型可获得更好的全域灵活度性能。研究结果还表明,这一结论对θ>0°依然成立。然而,随着姿态能力的增强,灵活性能随之下降,位形奇异性逐渐突出,即姿态能力的增强必然以损失灵活度性能为代价。  注意到动平台球铰许用锥角和可变杆长约束的作用,故一旦避免构型奇异,则在工作空间内不会出现奇异位形。此外,研究结果还表明,若局部灵活度是满意的,则全域灵活度一定也是满意的,目前未发现任何反例否定这一推论。

6 结论
  本文研究了SPM的局部灵活度解析、各向同性条件和尺度参数的设计准则,得到如下结论:
  (1)在初始位形下,SPM的雅可比与其转置的乘积为一稀疏矩阵。利用这一性质可很容易地构造出各种灵活度性能的解析解答。
  (2)在初始位形下,SPM的各种灵活度性能(条件数,最小奇异值和可操作性)具有完全等同的极值条件。
  (3)实现SPM各向同性的结构参数条件为1μcosα=0,μ>1和φ=π/4。Pittens,Ma和Zanganeh等人得到的类似结论仅为这一关系的特例。
  (4)引入相对灵活度约束,且尽量扩大动、静平台结构扭角可在有效地控制灵活度不致损失过多前提下,大幅度提高末端执行器实现姿态的能力。
  (5)如选取的结构参数使得局部灵活度是满意的,则全域灵活度也一定是满意的,进而可使尺度综合手续得到极大简化。
  *国家自然科学基金(59775006),863高科技发展计划,教育部博士点基金和留学回国人员启动基金资助项目。
  作者简介 黄田,男,1953年生,博士,教授,博士生导师,中国机械工程学会理事,IFToMM执委会委员,英国工程教授协会会员,入选国家“百千万人才工程计划”。主要从事并联机床设计与制造,机械动力学和加工过程智能控制方向研究工作。发表论文70余篇,获部委奖3项。
  作者单位:黄田(天津大学机械工程学院 天津 300072);
       汪劲松(清华大学);
       Whitehouse D J(Department of Engineering, University of Warwick, CoventryCV4 7AL,UK)
参考文献
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